§ 3. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная
работа № 1
Вариант 1
1. На отрезке CD длиной 24 см отмечена точка H.
Известно, что отрезок CH в
три раза длиннее отрезка DH.
Найдите длины отрезков CH и
DH.
2. Сумма двух углов, образованных при
пересечении двух прямых, равна 60°.
Определите все углы, образованные при пересечении данных прямых.
3. Найдите число сторон выпуклого
многоугольника, у которого 9 диагоналей.
4*. Сколько диагоналей можно провести из одной
вершины выпуклого n-угольника.
Вариант 2
1. На отрезке EF взята точка L. Найдите длины отрезков EL и FL, если отрезок EL на 6 см короче отрезка FL и длина отрезка EF равна 36 см.
2. Сумма трех
углов, которые образуются при пересечении двух прямых, равна 300°. Определите все углы, образованные при
пересечении данных прямых.
3. Найдите число сторон выпуклого многоугольника, у которого 14 диагоналей.
4*. На сколько
треугольников разбивается выпуклый n-угольник
диагоналями, проведенными из одной его вершины?
Контрольная
работа № 2
Вариант 1
1. В
четырехугольнике ABCD AB=CD, BC=AD. Докажите, что ÐA=ÐC и ÐB=ÐD.
2. Периметр равнобедренного треугольника равен
58 см. Основание на 14 см меньше боковой стороны. Найдите стороны данного
треугольника.
3. От вершины M равнобедренного треугольника KLM (MK=ML) отложены равные отрезки: MN на стороне MK и MH на стороне ML. Докажите, что ÐMKH =ÐMLN.
4*. У четырехугольников ABCD и A1B1C1D1 равны соответствующие
стороны: AB=A1B1, BC=B1C1, CD=C1D1, AD=A1D1. Будут ли равны данные
четырехугольники? Почему?
Вариант 2
1. Докажите, что в равных треугольниках ABC и A1B1C1 медианы, проведенные к
равным сторонам, равны.
2. Найдите стороны равнобедренного
треугольника, если его периметр равен 96 см, и основание относится к боковой
стороне как 2:3.
3. Дан равнобедренный треугольник EFG. От вершины G отложены на боковых
сторонах GE и GF соответственно равные
отрезки GM и GN . Докажите, что ÐNEF =ÐMFE.
4*. У четырехугольников ABCD и A1B1C1D1 ÐB=ÐB1, ÐD=ÐD1, AB=A1B1, BC=B1C1, CD=C1D1 и AD=A1D1. Верно ли утверждение о том,
что данные четырехугольники равны? Есть ли в задаче лишние условия?
Контрольная
работа № 3
Вариант 1
1. Может ли внешний угол при основании равнобедренного треугольника быть тупым? Почему?
2. В треугольнике HOP HO=7
см, HP=13 см, PO=9 см. Сравните углы данного
треугольника.
3. В равнобедренном треугольнике одна сторона
равна 5 см, а другая – 11 см. Какая из них является основанием? Ответ
обоснуйте.
4. При каком условии сумма проекций двух
сторон треугольника на прямую, определяемую его третьей стороной, больше этой
третьей стороны?
5*. Докажите, что в треугольнике медиана,
проведенная к одной из его сторон, меньше полусуммы двух других сторон.
Вариант 2
1. Может ли внешний угол при основании равнобедренного треугольника быть острым? Почему?
2. Дан треугольник KMN, в котором KM=10 см, MN=10 см и KN=15 см. Сравните углы данного треугольника.
3. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 20 см, а другая – 9 см. Какая из них является боковой стороной? Ответ обоснуйте.
4. Каким должен быть треугольник, чтобы проекция одной его стороны на прямую, определяемую другой его стороной, была бы больше этой второй стороны?
5*. В треугольнике ABC на стороне BC взята точка D, которая соединена с вершиной A. Докажите, что периметр треугольника ABC больше периметра треугольника ADC.
Контрольная
работа № 4
Вариант 1
1. Каково взаимное расположение прямой и окружности радиуса 5 см, если расстояние от центра окружности до прямой равно: а) 3 см; б) 5 см; в) 11 см?
2. Как расположены относительно друг друга две окружности, если расстояние между их центрами равно: а) 18 см, а радиусы равны 3 см и 12 см; б) 20 см, а диаметры равны 14 см и 42 см?
3. Две окружности касаются внешним образом. Радиус одной окружности на 3 см меньше радиуса другой окружности. Найдите диаметры окружностей, если расстояние между их центрами равно 11 см.
4. Найдите радиусы двух концентрических окружностей, если известно, что диаметр большей окружности делится меньшей окружностью на три части, равные 7 см, 11 см и 7 см.
5*. Стороны углы касаются данной окружности. Какую линию опишет вершина этого угла, если, не изменяя своей величины, угол изменяет положение так, что стороны касаются данной окружности?
Вариант 2
1. Запишите условие того, что прямая и окружность радиуса 5 см: а) не пересекаются; б) пересекаются: в) касаются.
2. Как расположены относительно друг друга две окружности, если расстояние между их центрами равно: а) 15 см, а радиусы равны 9 см и 7 см; б) 8 см, а диаметры равны 20 см и 2 см?
3. Две окружности касаются внутренним образом. Радиус одной окружности в три раза больше радиуса другой. Найдите диаметры окружностей, если расстояние между их центрами равно 6 см.
4. Радиусы двух концентрических окружностей, относятся как 3:7. Найдите радиусы этих окружностей, если ширина кольца, образованного ими, равна 16 см.
5*. Отрезок данной длины движется таким образом, что его концы перемещаются по сторонам прямого угла. Какую линию описывает при этом середина данного отрезка?
Контрольная
работа № 5
Вариант 1
1. Найдите геометрическое место точек, удаленных от данной точки на 5 см.
2. В данном треугольнике постройте медиану.
3. Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему острому углу.
4. Постройте равнобедренный треугольник KLM (MK=ML) по высоте MH углу M.
5*. С помощью равностороннего вырезанного картонного треугольника и линейки без делений постройте биссектрису данного угла.
Вариант 2
1. Найдите геометрическое место внутренних точек данного угла, одинаково удаленных от его сторон.
2. В данном треугольнике постройте высоту.
3. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.
4. Постройте равнобедренный треугольник EFG по основанию EG и углу E.
5*. С помощью равностороннего вырезанного картонного треугольника и линейки без делений постройте перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку, принадлежащую данной прямой.
ОТВЕТЫ
№ 1
Вариант 1. 1. 18 см, 6 см. 2. Два угла по 30° и два угла
по 150°. 3. Шестиугольник. 4*. n-3.
Вариант 2. 1. 15 см, 21 см. 2. Два угла по 60° и два угла
по 120°. 3. Семиугольник. 4*. n-2.
№ 2
Вариант 1. 2. 10 см, 24 см, 24 см. 4*. Нет, могут не равняться соответствующие углы четырехугольников.
Вариант 2. 2. 24 см, 36 см, 36 см. 4*. Да, четырехугольники равны, лишнее условие ÐD =ÐD1.
№ 3
Вариант 1. 1. Да. 2. ÐP<ÐH<ÐO. 3. 5 см. 4. Если к третьей стороне прилегает
тупой угол. 5*. Обратимся к рисунку
79. DACM=DBDM (по первому признаку равенства
треугольников, по двум сторонам и углу между ними). Значит, BD=AC=b. В
треугольнике BCD 2m < a+b (неравенство треугольника). Следовательно, m < 
.
Вариант 2. 1. Нет. 2. ÐM >ÐK=ÐN. 3. 20 см. 4. Тупоугольным. 5*.
Из треугольников ABD и ACD имеем: AD < AB+BD и AD < AC+CD (неравенство треугольника). Замечая, что BD+CD=BC,
получим AD < 
=
, где PABC – периметр треугольника ABC. PADC =
AD+AC+CD < 
+AC+BC (CD < BC) < 
+AC+BC+AB = 
< PABC.
№ 4
Вариант 1. 1. а) Пересекаются; б) касаются; в) не имеют ни одной общей точки. 2. а) Не имеют ни одной общей точки, одна лежит вне другой; б) пересекаются. 3. 14 см и 8 см. 4. 12,5 см и 5,5 см. 5*. Окружность с центром в центре данной окружности и радиусом, равным расстоянию от центра данной окружности до вершины данного угла.
Вариант 2. 1. Обозначим расстояние от центра данной окружности до данной прямой через d. а) d >5 см; б) d <5 см; в) d = 5 см. 2. а) Пересекаются; б) не имеют ни одной общей точки, одна лежит внутри другой. 3. 6 см и 18 см. 4. 12 см и 28 см. 5*. Четверть окружности, пересекающей стороны данного угла, с центром в его вершине.
№ 5
Вариант
1. 1. Окр.(M; 5 см), где M - данная
точка. 2. Построить середину любой стороны
треугольника и соединить ее с противоположной вершиной. 3. Строим отрезок, равный данному катету, и от его
концов в одну полуплоскость откладываем
углы, равные прямому и данному. Точка, где пересекутся соответствующие стороны
углов, будет третьей вершиной искомого треугольника. 4. Сначала строим прямоугольный треугольник MKH (по катету и прилежащему
острому углу, см. предыдущую задачу), у которого дан отрезок MH,
ÐMHK=90
, ÐKMH равен половине данного угла M.
Затем откладываем на прямой HK отрезок HL=HK, треугольник KLM - искомый. 5*.
Пусть дан угол AOB. На его сторонах откладываем равные отрезки, OE=OF,
это можно сделать с помощью картонного треугольника: отложить его сторону. В
точках E и F восстанавливаем к соответствующим сторонам угла
перпендикуляры, это можно сделать, перегнув картонный треугольник пополам, т.е.
совместив друг с другом любые две его вершины. Точку, где пересеклись
перпендикуляры назовем H. OH – искомая биссектриса угла AOB.
Действительно, DAOH=DBOH (прямоугольные, равны по катету и гипотенузе),
значит, ÐAOH=ÐBOH.
Вариант 2. 1. Биссектриса
данного угла. 2. Из любой вершины
треугольника опускаем перпендикуляр на противоположную сторону. 3. Строим прямой угол, назовем его O. На
одной из его сторон от вершины O откладываем данный отрезок OA,
равный данному катету. Проводим окружность с центром в точке A и
радиусом, равным данной гипотенузе. Точку пересечения окружности со второй
стороной угла назовем B. Треугольник AOB –
искомый. 4. Берем данный отрезок EG и на
его концах в одну полуплоскость откладываем углы, равные углу E.
Точку пересечения их соответствующих сторон обозначим F.
Треугольник EFG – искомый, у него ÐE=ÐG,
значит, он равнобедренный с основанием EG. 5*. Перегнем данный картонный
треугольник по его высоте, для этого нужно совместить друг с другом любые две
его вершины. Теперь вершину полученного прямого угла совместим с данной точкой,
половину стороны треугольника совместим с данной прямой и обведем высоту,
получим искомый перпендикуляр.
